Einführung in die mumerische Analyse mit der "Finite Elemente Methode"
Sie benötigen eine FEM-Optimierung oder Analyse, kennen sich damit aber nicht aus? Kein Problem! Hier sind die wichtigsten Prinzipien und Eigenschaften der Finite-Elemente-Methode für Sie zusammengestellt- Allgemeines
- Funktionsprinzip
- Genauigkeit der FEM-Analyse
- Verifikation der Ergebnisse
- Weiterführende Literatur
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Allgemeines
Bei der Analysemethode der "Finite-Elemente Methode" (FEM) handelt es sich um ein rechnergestütztes, numerisches Verfahren mit dem Belastungszustände, z.B. einzelne Spannungen und Dehnungen, in einem Bauteil durch Simulation untersucht werden können.Funktionsprinzip
Im Unterschied zu analytischen Berechnungsmethoden, bei denen der reale Belastungszustand in einem Bauteil durch ein in der Regel stark vereinfachtes Modell idealisiert wird, können mit Finite-Element-Methoden auch komplizierte Geometrien und für analytische Betrachtungen relativ schwierige Eigenschaften, wie z.B. der Einfluss von Einspannungen und diskontinuierliche Bereiche verhältnismäßig genau berücksichtigt werden:Die Wirkungsweise des FEM-Prinzips beruht auf einer Aufteilung eines Gesamtproblems in eine große Anzahl von Einzelproblemen. Das Bauteil wird wie durch ein Gitter in einzelne, diskrete Elemente aufgeteilt.
Aufgrund der Diskretisierung des Bauteils in kleine Bereiche bzw. Volumenteile muss das zu erstellende mechanische Modell nicht das gesamte Bauteil mit vielen variierenden Bedingungen abdecken, sondern es kann viel gezielter ein mechanisches Modell für einen kleinen Bereich mit verhältnismäßig homogenen Belastungszuständen aufgestellt werden.
Für jedes einzelne Element können die Belastungszustände bereichsweise angenähert werden.
Für die charakteristische, zu bestimmende Größe eines einzelnen Elements (z.B. die vorherrschende Spannung oder Verschiebung) wird wie eine Differentialgleichung aufgestellt. Im Gegensatz zu analytischen Methoden wird die Ansatzfunktion also nur für Teilbereiche (einzelne Elemente) aufgestellt, nicht für das gesamte Bauteil (s.o.).
Die Randbedingungen für die Berechnung eines Elements ergeben sich hierbei entweder durch lokal auf die Knoten (d.h. einen Eckpunkt eines Einzelelements) wirkende äußere Einflüsse oder durch den Belastungszustand der benachbarten Elemente, da diese kontinuierlich über die Knoten mit dem betrachteten Element verbunden sind.
Die Koeffizienten der Ansatzfunktion ergeben sich aus den Freiheitsgraden der Knoten; pro Knoten sind dies bei Festigkeitsrechnungen drei translatorische (x,y,z) und drei rotatorische Freiheitsgrade (Drehung um die Koordinatenachsen [f1, f2, f3].
Weitere Koeffizienten ergeben sich unter anderem aus den Werkstoffdaten, beispielsweise der Steifigkeitsmatrix.
Diese Gleichungssysteme werden vom FEM-Programm mit numerischen Verfahren berechnet. Zum Einsatz kommen beispielsweise Differenzenverfahren, Reihenansätze oder Variationsverfahren.
FEM ist besonders gut für diskontinuierliche Strukturen geeignet, da sich unterschiedliche Bereiche mit unterschiedlichen Gesetzmäßigkeiten leicht in einzelne Elemente aufteilen lassen. Ebenso ist es gut möglich, große Gradienten durch eine eventuell lokal feinere Vernetzung leicht zu handhaben.
Genauigkeit der FEM-Analyse
Die Genauigkeit der Analyse ist vom Anwender durch die Elementauswahl und gezieltes beeinflussen der Dichte der Vernetzung möglich. Prinzipiell ist die Exaktheit der Analyse durch folgenden Faktoren beeinflussbar:- Bei den FEM ist eine Steigerung der Genauigkeit durch eine feinere Vernetzung (=Aufteilung) des Modells möglich.
- Eine weitere Möglichkeit zur Steigerung der Genauigkeit ist, beschrieben, die Erhöhung der Polynomwertigkeit, z.B. das Verwenden eines quadratischen an Stelle eines linearen Ansatzes.
Bei der FEM-Analyse ist ebenso wie bei der analytischen Rechnung zu beachten, dass unbekannte Belastungen, die sich z.B. aus nicht vorhersehbaren Eigenspannungen oder Herstellungstoleranzen ergeben, nicht berücksichtigt werden können.
Verifikation der Ergebnisse
Die oben beschriebenen Genauigkeiten beziehen sich auf einen Vergleich verschiedener FEM-Modellierungsarten untereinander. Eine absolute Angabe der Genauigkeit ist hiermit nicht möglich.Um eine Absicherung des FEM-Modells zu erhalten, wird im allgemeinen auf Verifikationsmodelle zurückgegriffen, in denen experimentell ermittelte mit errechneten FEM-Werten verglichen werden.
Weiterführende Literatur
Für weiterführende Informationen ist eine Literaturliste im Zusammenhang mit der FEM Analyse für Sie zusammengestellt.Zum FEM-Dienstleistungsangebot
Quelle
